Расчёт домоседа

Близнец, оставшийся на Земле, находится в инерциальной системе отсчёта, поэтому для него метрика может быть выбрана таким образом, что

d s 2 = ( c d t ) 2 − ( d x ) 2 − ( d y ) 2 − ( d z ) 2 . {\displaystyle ds^{2}=(cdt)^{2}-(dx)^{2}-(dy)^{2}-(dz)^ {2}.} ds^2=(cdt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2.

В этом случае собственное время любых часов принимает простой вид:

∫ 0 t 1 − u 2 ( t ) / c 2 ⋅ d t , {\displaystyle \int \limits _{0}^{t}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}(t)/c^{2}}}\cdot dt,} \int\limits^t_0\sqrt{1-\mathbf{u}^2(t)/c ^2}\cdot dt,

где u ( t ) {\displaystyle \textstyle \mathbf {u} (t)} \textstyle \mathbf{u}(t) — скорость этих часов. Земные часы неподвижны ( u = 0 {\displaystyle \textstyle \mathbf {u} =0} \textstyle \mathbf{u}=0), и их собственное время равно координатному τ 0 = t {\displaystyle \textstyle \tau _{0}=t} \textstyle \tau_0=t. Часы путешественника имеют переменную скорость u ( t ) {\displaystyle \textstyle \mathbf {u} (t)} \textstyle \mathbf{u}(t). Так как корень под интегралом остаётся всё время меньше единицы, время этих часов, независимо от явного вида функции u ( t ) {\displaystyle \textstyle \mathbf {u} (t)} \textstyle \mathbf{u}(t), всегда оказываются меньше t {\displaystyle \textstyle t} \textstyle t. В результате τ 0 ′ < τ 0 {\displaystyle \textstyle \tau '_{0}<\tau _{0}} \textstyle \tau'_0<\tau_0.

Если разгон и торможение проходят релятивистски равноускоренно (с параметром собственного ускорения a {\displaystyle \textstyle a} \textstyle a) в течение τ 1 {\displaystyle \tau _{1}} \tau_1, а равномерное движение — τ 2 {\displaystyle \tau _{2}} \tau_2, то по часам корабля пройдёт время[30]:

τ 0 = 2 c a ln ⁡ [ a τ 1 c + 1 + ( a τ 1 c ) 2 ] + τ 2 1 + ( a τ 1 / c ) 2 = 2 c a arcsinh ⁡ a τ 1 c + τ 2 1 + ( a τ 1 / c ) 2 {\displaystyle \tau _{0}={\frac {2c}{a}}\,\ln \left[{\frac {a\tau _{1}}{c}}+{\sqrt {1+\left({\frac {a\tau _{1}}{c}}\right)^{2}}}\right]+{\frac {\tau _{2}}{\sqrt {1+(a\tau _{1}/c)^{2}}}}={\frac {2c}{a}}\,\operatorname {arcsinh} {\frac {a\tau _{1}}{c}}+{\frac {\tau _{2}}{\sqrt {1+(a\tau _{1}/c)^{2}}}}} \tau_0 = \frac{2c}{a}\,\ln\left[\frac{a\tau_1}{c} +\sqrt{1+\left(\frac{a\tau_1}{c}\right)^ 2}\right] + \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2}} = \frac{2c}{a}\, \operatorname{arcsinh}\frac{a\tau_1}{c} + \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2}}, где arcsinh {\displaystyle \operatorname {arcsinh} } \operatorname{arcsinh} — гиперболический арксинус

Рассмотрим гипотетический полёт к звёздной системе Альфа Центавра, удалённой от Земли на расстояние в 4,3 световых года. Если время измеряется в годах, а расстояния в световых годах, то скорость света c {\displaystyle \textstyle c} \textstyle c равна единице, а единичное ускорение a = 1 {\displaystyle \textstyle a=1} \textstyle a=1 св.год/год² близко к ускорению свободного падения и примерно равно 9,5 м/c².

Пусть половину пути космический корабль двигается с единичным ускорением, а вторую половину — с таким же ускорением тормозит ( τ 2 = 0 {\displaystyle \textstyle \tau _{2}=0} \textstyle \tau_2=0). Затем корабль разворачивается и повторяет этапы разгона и торможения. В этой ситуации время полёта в земной системе отсчёта составит примерно 12 лет, тогда как по часам на корабле пройдёт 7,3 года. Максимальная скорость корабля достигнет 0,95 от скорости света.

За 64 года собственного времени космический корабль с единичным ускорением потенциально может совершить путешествие (вернувшись на Землю) к галактике Андромеды, удалённой на 2,5 млн св. лет. На Земле за время такого полёта пройдёт около 5 млн лет. Развивая вдвое большее ускорение (к которому тренированный человек вполне может привыкнуть при соблюдении ряда условий и использования ряда приспособлений, например, анабиоза), можно подумать даже об экспедиции к видимому краю Вселенной (около 14 млрд. св. лет), которая займёт у космонавтов порядка 50 лет; правда, возвратившись из такой экспедиции (через 28 млрд. лет по земным часам), её участники рискуют не застать в живых не то что Землю и Солнце, но даже нашу Галактику. Исходя из этих расчётов, разумный радиус доступности для межзвёздных экспедиций с возвратом не превышает нескольких десятков световых лет, если, конечно, не будут открыты какие-либо принципиально новые физические принципы перемещения в пространстве-времени. Впрочем, обнаружение многочисленных экзопланет даёт основания полагать, что планетные системы встречаются у достаточно большой доли звёзд, поэтому космонавтам будет что исследовать и в этом радиусе (например, планетные системы ε Эридана и Глизе 581).